Diciembre

Series:

Las sucesiones y series con complejos son relativamente parecidas a las sucesiones con números reales. Se define a la sucesión como un conjunto ordenado de términos complejos que viene representada por:

  

La serie converge a una suma S cuando la sucesión de sumas parciales nos da S. Entonces se puede escribir como: 

 

Supongamos que Zn= xn+yni y que S=Xn+Yi, entonces:  si y solo si:

Existen muchos criterios que nos pueden ayudar a verificar la convergencia de una serie, dentro de los cuales daré a conocer 3 de vital importancia. 

El primero de ellos es el Criterio del Cociente:

Criterio del cociente:

Sea z1+z2+⋯+zn+⋯ una serie compleja. Supongamos que |Zn+1/Zn| tiene límite L. Entonces:


i) Si L<1, la serie es absolutamente convergente.


ii) Si L>1, la serie es divergente.

iii) Si L=1, el criterio no decide.


Criterio de Raabe:

Sea :
una serie de términos positivos tal que lim n[1-(Zn+1/Zn)] cuando n tiende al infinito existe . Entonces:


Si l < 1, la serie es divergente 

Si l > 1, la serie es convergente

Si l = 1, este criterio no decide.

El criterio de Raabe suele decidir cuando no lo hace el criterio del cociente.





Criterio de Comparación:

Si 0 ≤ an ≤ bn para todo n (o, al menos, a partir de un n), entonces:  

si Σbn converge ⇒ Σan converge
si Σan diverge ⇒ Σbn diverge


Serie De Potencias:
es aquella que viene representada de la siguiente manera:

Si sacamos el limite de |an+1/an| cuando n tiende al infinito obtendremos un numero R, que sera parte esencial para tener nuestro radio de convergencia. Así:

Si 0<R<1 entonces la serie es convergente

si 1<R entonces la serie es divergente

Serie de Taylor:

Sea f(z) una funcion de z analitica en un disco abierto |z-zo|=R centrado en zo y de radio R. Entonces en todo punto z de ese disco f(z) se admite una representacion en serie.


          (1)

donde:

Esa serie de potencias converge a f(z) cuando |z-zo|<R, luego la serie puede escribirse como (1):


    (|z-zo|<R)




El desarrollo en serie de una función en torno a Zo , es único y coincide con el de Taylor. 

El radio de convergencia de la serie de Taylor de f(z) en torno a Zo, es la distancia de Zo al punto más próximo en el que f(z) no es analítica.

Cuando el punto zo es cero, es decir cuando la serie de Taylor se desarrolla alrededor de 0, entonces la serie toma el nombre de Serie de McLaurin:

El desarrollo en Taylor se puede dar por distintos métodos como son integración, derivación, división entre otros:

Ejm: (división)

 

por derivación e integración:

Si la funcion no es analitica alrededor de este punto zo, entonces no se puede desarrollar una serie de taylor en ese punto. Para esto tenemos la serie de Laurent.

Serie de Laurent:

Sea f(z) una función analítica en un dominio anular  R1< |z-zo|<R2 y sea C cualquier contorno cerrado simple en torno de Zo, contenido en ese dominio.Entonces, en todo punto z de ese dominio, f(z) admite la representación en serie:

 donde:

 y 

Singularidades:

Polos:

Si f (z) tiene la forma:


y la parte principal sólo tiene un número finito de términos dados por



donde a−n diferente de 0, entonces z = a es un polo de orden n. Si n = 1, es un polo simple.

Puntos de Ramificacion:

Un punto z=zo se llama punto de ramificación de la función f(z) si las ramas de f(z) se intercambian cuando z describe un camino cerrado alrededor de zo. Puesto que cada una de las ramas de la función es analítica el teorema de Taylor (y los otros teoremas para funciones analíticas) se puede aplicar.