Integrales complejas de línea:
Curva en el plano complejo:
Regiones Simplemente Conexas y Multiplemente Conexas:
En forma general las integrales complejas se definen y tienen propiedades similares a las integración de números reales. Sin embargo existen algunas integrales complejas que nos permitirán evaluar integrales reales.
Las integrales de línea de funciones complejas son analógicas a las de variable real de dos variables sobre curvas en el plano.
Para las integrales cerradas se cumplen propiedades que sólo se aplican para funciones analíticas de variable compleja, tal como la integral de Cauchy.
Las integrales de línea de funciones complejas son analógicas a las de variable real de dos variables sobre curvas en el plano.
Para las integrales cerradas se cumplen propiedades que sólo se aplican para funciones analíticas de variable compleja, tal como la integral de Cauchy.
Curva en el plano complejo:
De la curva, haciendo un continuo de puntos podemos obtener, en el limite cuando tiende a infinito:
que se conoce como integral compleja de línea o tan sólo integral de línea de f (z) a lo largo de la curva C, o integral definida de f (z) de a a b a lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f (z) es integrable a lo largo de C. Si f (z) es analítica en todos los puntos de una región R y si C es una curva que se encuentra en , entonces f(z) es continua y por tanto integrable a lo largo de C.
Propiedades de las Integrales:
Propiedades de las Integrales:
Integrales de linea, curva ɣ :
Sea γ curva representada por Z(t)= u(t) + iv(t):
-ɣ es una curva suave si u'(t) y v'(t) son continúas y no son simultáneamente iguales a cero en su dominio.
-ɣ es una curva suave o intervalos, si está formado por curvas suaves.
Cambio de Variable:
Sea z = g(t) una función continua de una variable compleja z(t) = u(t) + iv(t) . Suponga que la curva C en el plano z corresponde a la curva C′ en el plano z(t) y que la derivada g′(t) es continua en C′. Entonces:
∫ f(z)dz= ∫ f(z(t))z´(t)dt
Regiones Simplemente Conexas y Multiplemente Conexas:
A una región R se le llama simplemente conexa si toda curva simple cerrada , que esté en R , puede reducirse a un punto sin salirse de R . Se dice que una región R que no sea simplemente conexa es múltiplemente conexa.
Por intuición, una región simplemente conexa es una región que no tiene “hoyos”, mientras que una región múltiplemente conexa es una región con “hoyos”. Las regiones múltiplemente conexas de las figuras 4-3 y 4-4, respectivamente, tienen uno y tres “hoyos”.
Teorema de Morera:
Sea f(z) continua en una region R simplemente conexa y suponga que:
f(z)dz= 0
alrededor de toda curva simple cerrada R en C. Entocnes f(z) es analitica en R.
Integrales Indefinidas:
Suponga que f(z) y F(z) son analíticas en una región R y que F´(z)=f(z). Entonces se dice que F(z) es una integral indefinida o una anti-derivada de f(z), y se escribe:
F(z)= ∫ f(z)dz
Como en el case de las variables reales, dos integrales indefinidas difieren en una constante. A esto se debe que se agregue una constante arbitraria c en el lado derecho de la expresion dada.
Integrales de Funciones Especiales:
A continuación te dejo el siguiente enlace en donde puedes ver mas sobre la parametrizacion de curvas:
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