Semana 1
29 de Septiembre - 03 de Octubre
Primera semana de clases del semestre 2014-B, muy importante ya que se da a conocer las normas según el cual se llevara el curso. Ademas de las normas se da a conocer la manera en la cual se evaluara la materia, puntos por examen, pruebas, deberes, etc. También se explica brevemente el papel de un blog, luego como primera tarea se da la creación de una cuenta en gmail junto con una plataforma virtual (blog) que sera un tipo de registro de las actividades que tendremos durante el presente semestre.
Semana 2
06 de octubre - 10 de octubre
Los numeros Complejos
No existe ningún número real x que satisfaga la ecuación polinómica x2 + 1 = 0. Para solucionar esta ecuación y otras similares se introduce el conjunto de números complejos.
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica enálgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
Forma binomial de los complejos:
Los números complejos son números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i, denominado unidad imaginaria, tiene la propiedad de que i2 = −1. Si z = a + bi, entonces a es llamada parte real de z, y b, parte imaginaria de z, y se les denota Re{z} e Im{z}, respectivamente. El símbolo z, que representa un número complejo cualquiera, es llamado variable compleja.
Dos números complejos, a + bi y c + di, son iguales si y sólo si a = c y b = d. Los números reales se consideran el subconjunto de los números complejos formado por los números complejos en los que b = 0. Así, los números complejos 0 + 0i y −3 + 0i representan los números reales 0 y −3, respectivamente. Si a = 0, al número complejo 0 + bi o bi se le conoce como número imaginario puro.
El complejo conjugado, o simplemente conjugado, de un número complejo a + bi es a − bi, y a menudo se denota por z o z*.
Representación en el plano de un complejo:
Se definen las siguientes operaciones:
Suma de números complejos
Sean Z1 = a + bi y Z2 = c + di dos números complejos. La suma Z1 + Z2 = Z3 resultará en un nuevo número complejo, el cual se obtiene por:
Z3 = Z1 + Z2 = ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplicación de números complejos:
La multiplicación entre dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
Para definir la multiplicación entre dos números complejos, consideremos que:
Z1 = a + bi y Z2 = c + di
La multiplicación de estos números genera un nuevo número complejo. Para obtener este número complejo Z3 = Z1 × Z2 = (a + bi) (c + di), desarrollamos el producto de los paréntesis y tenemos Z3 = (ac - bd) + (ad + bc)i
División de números complejos:
Si tenemos dos números complejos en su forma rectangular Z1 = a + bi y Z2 = c + di para realizar la división Z1/Z2
la cual dará como resultado un nuevo número complejo, debemos de multiplicar a toda la expresión por el conjugado del denominador, esto es:
Potenciación:
i=(-1)^1/2
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^n=i^(n-1) *i
Después de revisar estos temas se hizo algunos ejercicios que están en el cuaderno de apuntes de la materia.
Forma rectangular:
Sea z=x+iy su forma rectangular es:
z=(a,b)
Semana 3
Forma Polar de los Números Complejos:
Los números complejos también pueden ser expresados en forma polar. Para entender mejor este concepto puedes hacer clic en el siguiente vídeo:
Mira el video!
Propiedades:
|z|^2=z.zconjugado
|zw|=|z||w|
|z/w|=|z|/|w|
arg(zw)=arg(z)+arg(w)
arg(z/w)=arg(z)-arg(w)
arg(ᾰz)=ᾰarg(z)
Sean z1=r1cisƟ1 y z2=r2cisƟ2
Producto:
z1z2=(r1r2)cis(Ɵ1+Ɵ2)
División:
z1/z2=(r1/r2)cis(Ɵ1-Ɵ2)
Sea z=rcisƟ
Potenciación:
Teorema de Moivre
z^n=r^ncis(nƟ)
Radicación:
z^(1/n)=r^(1/n)cis[(Ɵ+2Πk)/n]
Se resolvio algunos ejercicios sobre los temas dados los cuales estan en el cuaderno de apuntes de la materia.
Forma Exponecial de los Complejos:
Formula de Euler:
î
Forma exponencial:
z=r.e^iƟ
Algunas formulas importantes:
cos(x)=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
sen(x)=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i
LOGARITMOS COMPLEJOS
Sea z=r.e^iƟ
ln(z)=ln(r)+iƟ VALOR PRINCIPAL
ln(z)=ln(r)+i(Ɵ+2Πk) VALOR GENERAL
ln(z)=ln|z|+i.arg(z)
PROPIEDADES:
Sea z y w números complejos distintos de cero
e^[ln(z)]=z ; ln(e^z)=z+2Πk
ln(zw)=ln(z)+ln(w)
ln(z/w)=ln(z)-ln(w)
Para todo número racional se cumple ln(z^ᾰ)=ᾰln(z)
Exponencial compleja general, si z1 y z2 son complejos y z1~=0 entonces w=z1^z2 y w=e^[z2ln(z1)]
Semana 4
Funciones de variable compleja:
El conjunto de salida DcC y el conjunto de llegada es C.
Deben tomarse consideraciones semejantes a las funciones de variable real.
Las imágenes de f(z) se evaluan como se lo hace en las funciones de variable real.
Realización de algunos ejemplos que estan en el cuaderno de apuntes de la materia.
LIMITES:
Se dice que el límite de z cuando tiende a Zo de f(z)=L ssi para todo epsilon mayor a cero, existe un delta mayor a cero de |f(z)-L| menor a epsilon si 0<|z-Zo|<delta. se puede concluir que es el mismo caso del campo real.
EJERCICIOS EN EL CUADERNO DE MATERIA
Continuidad:
Se dice que la función f(z) es continua en z=Zo si se cumplen las misam consideraciones que en el campo real, es decir:
i) Existencia de f(Zo)
ii) Existencia del limite cuando z tiende a Zo de f(z)
iii) Que los literales anteriores sean iguales entre sí.
Tipos de discontinuidad:
1. Evitable: Si existe la función pero no existe el limite.
1. Inevitable: Si no existe el limite de la función cuando z tiende a Zo.
Semana 27 de octubre - 31 de octubre
Derivadas de Funciones de Variable Compleja:
Si f (z) es unívoca en una región R del plano z, la derivada de f (z) se define como:
siempre que este límite exista independientemente de la manera en que z → 0. Si es así, se dice que f (z) es diferenciable en z. En la definición dada también suele usarse h en lugar de Δz. Aunque diferenciabilidad implica continuidad, lo contrario no es verdad.
Funciones Analíticas:
Si la derivada f ′(z) existe en todos los puntos z de una región , se dice que f(z) es analítica en R y se refiere a una función analítica en . Como sinónimos de Analítica suelen usarse también los términos regular y holomorfa. Una condicion necesaria para que f(z) sea analitica es que f(z) cumpla las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Funciones armónicas:
Si las segundas derivadas parciales de u y v respecto de x y y existen y son continuas en una región , entonces:
Funciones como u(x, y) y v (x, y) que satisfagan la ecuación de Laplace en una región se denominan funciones
armónicas y se dice que son armónicas en R.
Reglas de diferenciación:
Ejemplos de algunas demostraciones:
cosh(iz)=cos(z)
[e^(iz)+e^(-iz)]/2=[e^(iz)+e^(-iz)]/2
sen(iz)=isenh(z)
sen(iz) = {e^[i(iz)]-e^[-i(iz)]}/2i
= [e^(-z) -e^z]/2i * [-2i/(-2i)]
= -2i[e^(-z) -e^z]/4
= i[e^(-z) -e^z]/2
= isenh(z)
e^(zconjugado)=(e^z)conjugado
e^(x-iy) = [e^(x+iy)]conjugado
= [e^x e^(iz)]conjugado
= [e^x (cos(x))-isen(y)]conjugado
= e^x [cos(y)-isen(y)]
= e^x e^(-iy)
= e^(x-iy)
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